圆周长公式是怎么推算出来的（圆周长公式的推导用极限方法）

圆是古人最早认知的几何图形之一，他们使用绳子在丈量土地时，发现只要一个人拿着绳子一端原地不动，一人拉着绳子另一端移动，就会画出一个圆形。因而意识到圆有两个核心要素：圆心和半径。

圆的定义：在同面内到一个定点（O）的距离（R）点的叫做圆，这个定点叫做圆的圆心（O）。

需要注意的是，我们通常说的圆是指圆周，就是到圆心距离相等的点的，并不包含圆心。这些点组成了圆形。在一些几何题中的圆也不会给出圆心，如：一个三角形的外接圆或内切圆，但只要给出了圆，就可以很容易获得圆心。

圆的半径：

连接圆上任意一点和圆心的线段叫做半径（AO），一般用r（radius）表示。

圆的直径：

初中教科书上说，连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。其实我们可以这样理解，一条经过圆心的直线与圆相交两点，连接这两点的线段叫做直径（AB），一般用字母d（dieter）表示。由于圆心O到点A和点B的线段均等于半径，所以直径的长度是2倍的半径长度，即d=2r。

 

圆的周长：

古代数学家将大小不同的圆环沿着直尺滚动一周后发现，圆的周长总是以圆的直径乘以某个常数，这个常数就是我们现在熟知的圆周率（π）。然而当时的人们却发现π不是一个整数，似乎无论如何都无法得到π的准确值，这个困扰了人们上千年之久，直到1761年德国数学家约翰·海因里希·兰伯特使用连分数法证明了π是无理数（无限不循环小数）。在1844年法国数学家刘维尔证明了超越数的存在性之后的1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率是超越数。圆周率π的神秘面纱才被真正揭开了。

 

既然圆的周长是某个常数乘以直径，我们就先获得了圆的周长的公式：

C=πd 或 C=2πr。

周长用字母C（circumference）表示

圆周率π的计算：

现在很多人都理所当然认为π是常数，但并没有想过π为什么是常数？如果π不是常数，且是无限不循环小数，那么我们禅精竭虑计算出π的值将没有任何意义。

首先，证明π是常数的过程：（没学过“相似三角形”可以直接看结论）

 

作两个以O点为圆心，半径为R1和R2的同心圆。再分别作两个圆的内接正n边形（ n= 10），且保证正两个正多边形过圆心的对角线重合。两个正多边形的边长分别为K1和K2。

我们通过：

 

从而我们获得结论：

圆的周长（πd 或2πr）只跟半径相关， 则π为常数。

π的计算：

与证明π为常数的方法一样，人们在计算π的值同样使用圆内接正n边形，n越大，正n边形的周长越接近圆的周长，从而计算出更加精确的π值。这就是“割圆法”。

 

上图是古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）通过正96边形获得的π值。我国的数学家祖冲之（公元429年—公元500年）在公元460年进一步得出精确到3.1415926和3.1415927之间，这个则达到了正24000边形。这个在之后的800年都是最精确的π值。

 

细心的同学会发现“割圆法”中的正n边形，n都是6的倍数。

 

 

这是因为利用直角三角形性质，我们可以比较容易计算出

 

这些角对应的边长（具体将在以后介绍）。

趣闻

1. 2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。 [16]
2. 国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日，旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都会举办庆祝活动。
3. 2020年，一个名为北巴马慈善计算的非营利组织的创始人蒂莫西·穆利肯使用个人电脑，将数值计算到小数点后50万亿位，耗时303天。 [23]
4. 2021年8月17日，美国趣味科学网站报道，瑞士研究人员使用一台超级计算机，历时108天，将著名数学常数圆周率π计算到小数点后62.8万亿位，创下该常数迄今最精确值记录。

为什么科学家现在还在计算π的值？

当1882年德国数学家林德曼证明了圆周率是超越数后，人们开始意识到这个世界的神奇。目前存在自然界中的超越数只有两个π（圆周率）和e（自然对数），其他的超越数都是人为定义的。人们相信如果能找到更多的超越数，揭开这些超越数的神秘面纱，我们就能探索到宇宙的尽头。